Analyse mathématique 3

lmat1221  2017-2018  Louvain-la-Neuve

Analyse mathématique 3
6 crédits
30.0 h + 30.0 h
Q1
Enseignants
Ponce Augusto; Van Schaftingen Jean;
Langue
d'enseignement
Français
Préalables


 

Le(s) prérequis de cette Unité d’enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations qui proposent cette UE.
Thèmes abordés


Le cours abordera l'étude du calcul intégral à plusieurs variables,  le passage à la limite dans des intégrales et l'intégration par parties.
Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

1

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique
À la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans :

  • La connaissance et  la compréhension d'un socle fondamental des mathématique dans le but de devenir capable de :
    -  Choisir et utiliser les méthodes et les outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique.
    -  Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
    -  Établir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.
  • La capacité de dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique ou dans des domaines proches.
  • La capacité d'abstraction et l'esprit critique, dans le but de devenir capable de :
    -  Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
    -  Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.
    -  Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.
    -  Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles.
    -  Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.
  • La clarté, la précision et la rigueur dans les activités de communication dans le but de devenir capable de
    -  Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.
À la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

  • définir et illustrer par des exemples les concepts mathématiques fondamentaux du calcul différentiel et intégral, comme l¿intégrale, la mesure et les ensembles négligeables,
  • énoncer les théorèmes fondamentaux du calcul intégral à plusieurs variables, concernant notamment les propriétés de base de d¿intégrale et de la mesure d¿ensembles, l¿échange d¿ordre d¿intégration, le changement de variable, le passage à la limite sous le signe intégral et l¿intégration par parties,
  • comparer des théorèmes et définitions en identifiant les situations où ils s¿appliquent et les résultats qu¿ils fournissent,
  • illustrer l¿application des théorèmes fondamentaux du calcul intégral à plusieurs variables par des exemples pertinents,
  • illustrer graphiquement les définitions, théorèmes et exemples,
  • motiver les énoncés des théorèmes fondamentaux du calcul intégral à plusieurs variables par des contre-exemple illustrant la nécessité des hypothèses,
  • démontrer des théorèmes de calcul intégral à plusieurs variables à partir des définitions ou à partir d¿autres propositions,
  • appliquer les définitions et théorèmes du calcul intégral à plusieurs variables au calcul et à l¿étude asymptotique d¿intégrales et de mesures, faisant éventuellement intervenir un paramètre, y compris dans l¿analyse de Fourier, l¿étude de fonctions spéciales et la théorie des probabilités,
  • interpréter les résultats d¿un calcul ou d¿une étude asymptotique dans des contextes géométrique, probabiliste ou physique.
 

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
Contenu
Notions de complétude et calcul intégral à plusieurs variables :
- suites et séries de fonctions
- intégrale dans l'espace
- théorèmes de Fubini et de changement de variables
- théorèmes de convergence d'intégrales
- intégrale de surface et théorème de la divergence
Méthodes d'enseignement
Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs liens avec d'autres cours du programme de bachelier en sciences mathématiques.
Les séances de travaux pratiques visent à apprendre à choisir et utiliser des méthodes de calcul et à construire des démonstrations.
Les deux activités se déroulent en présentiel.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants
L'acquisition des compétences sera évaluée lors d'un examen final. Les questions demanderont :
- restituer de la matière, notamment des définitions, des théorèmes, des preuves, des exemples,
- choisir et appliquer des méthodes du cours pour résoudre des problèmes et des exercices,
- adapter des méthodes de démonstration du cours à des situations nouvelles,
- synthétiser et comparer des objets et concepts.
L'évaluation portera sur
- la connaissance, la compréhension et l'application des différents objets et méthodes mathématiques du cours,
- l'exactitude des calculs,
- la rigueur des développements, preuves et justifications,
- la qualité de la rédaction des réponses.
Ressources
en ligne


 
Bibliographie


 
Faculté ou entité
en charge
SC


Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme
Sigle
Crédits
Prérequis
Acquis
d'apprentissage
Bachelier en sciences mathématiques