Analyse mathématique 2

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique.
À la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans :

• La connaissance et la compréhension d'un socle fondamental des mathématique dans le but de devenir capable de :
  -  Choisir et utiliser les méthodes et les outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique.
  -  Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
  -  Établir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.
• La capacité de dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique ou dans des domaines proches.
• La capacité d'abstraction et l'esprit critique, dans le but de devenir capable de :
  -  Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
  -  Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.
• Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.
  -  Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles.
  -  Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.
• La clarté, la précision et la rigueur dans les activités de communication dans le but de devenir capable de
  -  Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours
À la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

• Connaître les objets, outils et méthodes du calcul différentiel et intégral à plusieurs variables:
  -  définir, donner les propriétés et illustrer par des exemples et contre-exemples la convergence de suites vectorielles, la notion d'ensemble compact, la continuité et la différentiabilité de fonctions de plusieurs variables et relier ces propriétés entre elles par des théorèmes et des contre-exemples,
  -  expliquer et illustrer par des exemples les liens entre différentes notions de dérivées de fonctions de plusieurs variables,
  -  énoncer les théorèmes fondamentaux du calcul différentiel à plusieurs variables, concernant notamment l¿optimisation, l¿approximation et la résolution d¿équations,
  -  énoncer et illustrer graphiquement les conditions nécessaires d'optimalité locale avec ou sans contrainte,
  -  démontrer des propriétés et théorèmes à partir de définitions ou d¿autres propositions,
• Résoudre des problèmes à l'aide d'outils analytiques:
  -  relier une fonction de plusieurs variables à ses représentations graphiques (graphe, courbes de niveaux, traces),
  -  vérifier la continuité ou la différentiabilité d'une fonction à partir de la définition ou des propriétés,
  -  calculer des limites et des dérivées de fonctions de plusieurs variables, y compris par différentiation implicite,
  -  étudier des problèmes d'optimisation pour des fonctions de plusieurs variables, avec ou sans contrainte,
  -  approcher une fonction de plusieurs variables par son développement de Taylor et exploiter cette approximation, interpréter graphiquement.