d'enseignement
en ligne
Site iCampus ( > https://icampus.uclouvain.be/).
LMAT1131 - algèbre linéaire (première année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
LMAT1231 - multilinear algebra and group theory (deuxième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
LMAT1331 - algèbre commutative (troisième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
LMAT2120 - théorie de Galois et représentations de groupes (première année de master en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
Le cours porte sur un thème d'actualité en algèbre, à déterminer dans la mesure du possible en concertation avec le public potentiel. En 2014--2015, le thème retenu est la théorie algébrique des formes quadratiques.
d'apprentissage
Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.
A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à:
- Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à:
-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
-- Etablir les liens principaux entre ces théories.
- Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à:
-- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.
-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.
Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.
A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de:
- Classifier les formes quadratiques sur des corps particuliers, tels que les complexes, les réels, les rationnels, les corps de fonctions rationnelles et les corps complets pour une valuation discrète.
- Utiliser les algèbres de Clifford pour reconnaître les formes quadratiques qui admettent la composition, étudier les groupes de rotations et définir des invariants des formes quadratiques.
- Reconnaître les caractéristiques arithmétiques des corps qui s'expriment en termes de formes quadratiques, telles que le niveau ou le u-invariant, et utiliser les propriétés des corps de fonctions de quadriques pour établir leurs propriétés.
La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
des acquis des étudiants
L'évaluation se fait sur base d'un examen oral. On y teste la connaissance et la compréhension des notions, des exemples et des résultats fondamentaux, la capacité de construire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant le cours.
Le cours est donné sous forme de cours magistraux, pendant lesquels un certain nombre d'exercices et de travaux pratiques sont proposés. Une place particulière est faite pendant le cours à la discussion de la solution des exercices suivant les suggestions des étudiants.
Le cours vise à donner les outils nécessaires pour entreprendre une recherche originale dans un domaine particulier de l'algèbre.
Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.
- Anneau de Witt d'un corps de caractéristique différente de 2.
- Ramification des formes quadratiques sur un corps valué et détermination de l'anneau de Witt des corps complets.
- Ramification des formes quadratiques sur les corps de fonctions algébriques d'une variable et détermination de l'anneau de Witt de ces corps.
- Algèbre de Clifford d'une forme quadratique; application à la détermination des formes quadratiques qui admettent une composition et à la définition des groupes Spin.
- Groupe de Brauer d'un corps et invariant de Witt--Clifford des formes quadratiques.
- Théorèmes de Cassels--Pfister; applications à la représentation des fonctions rationnelles par des formes quadratiques.
- Formes de Pfister et puissances de l'idéal fondamental de l'anneau de Witt.
- Formes quadratiques sur les corps ordonnés; multi-signatures.
B. Kahn: Formes quadratiques sur un corps, Cours spécialisés 15, Soc. Math. France, Paris, 2008.
T.Y. Lam: Introduction to quadratic forms over fields, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
en charge
Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)
d'apprentissage
