d'enseignement
en ligne
Site iCampus ( > https://icampus.uclouvain.be/claroline/course/index.php?cid=MAT1371).
Le site contient le syllabus du cours, les numéros d'exercices à préparer pour les travaux pratiques (dont les énoncés se trouvent dans le syllabus), et des questions de révision.
LMAT1271 - calcul des probabilités et analyse statistique.
LMAT1322 - Théorie de la mesure.
Le(s) prérequis de cette Unité d’enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations qui proposent cette UE.
Espaces probabilisés. Convergence de suites de variables aléatoires. Convergence en distribution.
d'apprentissage
Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :
- Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre
des problèmes de mathématique.
-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.
- Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.
- Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.
-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.
-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles.
Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :
- Raisonner sur les probabilités, les variables aléatoires et leurs distributions dans un cadre axiomatique. En particulièr, faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.
- Prouver et appliquer la convergence d'une suite de variables aléatoires: presque sûrement, en probabilité, et en distribution.
- Prouver et appliquer l'indépendance d'une famille de variables aléatoires.
- Etablir les liens entre la théorie de probabilité et d'autres domaines des mathématiques, notamment la théorie de la mesure, l'analyse complexe, et l'analyse fonctionnelle.
La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
des acquis des étudiants
L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit portant sur la théorie et les exercices. L'examen est à livre ouvert. On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux et de leurs démonstrations et la capacité de construire et d'écrire un raisonnement cohérent.
Les activités d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques. Ces deux activités se donnent en présentiel.
Lors des cours magistraux, l'enseignant donne d'abord un survol du chapitre en question, mettant les résultats principaux dans le contexte général du cours. Les étudiants sont alors invités à lire et étudier le chapitre en détail, notamment les démonstrations des théorèmes. Ce travail personnel est guidé par des questions de révision se trouvant dans des documents spécifiques sur iCampus. La séance d'après, on revient sur certains points et démonstrations, en fonction des questions des étudiants.
Lors des travaux pratiques, les étudiants font des exercices dont les numéros sont annoncés d'avance sur iCampus. Les énoncés des exercices et des indications pour les résolutions se trouvent dans le syllabus. Chaque étudiant avançant à sa propre vitesse, l'assistant fournit des explications individuelles.
Le cours est composé de trois parties. La première traite les espaces probabilités en tant qu'espace mesurable de masse totale égale à un. La deuxième porte sur la convergence de suites de variables aléatoires, menant à la loi forte des grands nombres. La troisième partie, finalement, a comme sujet la convergence en distribution, avec le théorème central limite comme résultat principal.
Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.
- Espaces probabilités
- Variables aléatoires
- Espérance mathématique
- Convergence de variables aléatoires
- Indépendance
- Loi des grands nombres
- Convergence en distribution
- Fonctions caractéristiques
- Théorème central limite
Syllabus disponible sur iCampus.
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