Géométrie 1

Site iCampus (http://icampus.uclouvain.be/claroline/course /index.php?cid=MAT1141).

Le site contient le syllabus du cours, les énoncés et les solutions des exercices pour les séances de travaux pratiques, le corrigé des examens récents et le plan détaillé du cours.

LMAT1121 - analyse mathématique 1 (ou cours équivalent).

LMAT1131 - algèbre linéaire (ou cours équivalent).

Géométrie euclidienne (espaces affines et euclidiens, quadriques). Eléments de géométrie différentielle: théorie locale des courbes planes et gauches; théorie locale des surfaces dans l'espace à trois dimensions.

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique.

A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

· Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :

o   Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique.

o   Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.

o   Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.

·       Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.

·       Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :

o   Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

o   Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.

A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

·       Déterminer des lieux d'espaces affines et euclidiens et les représenter graphiquement.

·       Déterminer et caractériser des transformations affines et des isométries

·       Classifier des quadriques, notamment en dimensions ' 3 et en déterminer des invariants géométriques comme le repère adapté, les directions asymptotes, ... et les utiliser pour représenter graphiquement la quadrique.

·       Calculer et interpréter des invariants différentiels des courbes comme le vecteur tangent, le vecteur de courbure, le trièdre de Frenet, la longueur d'un arc, ...

·       Calculer et interpréter des invariants différentiels locaux des surfaces dans l'espace tridimensionnel comme les plans tangents, les formes fondamentales, les courbures normales, principales et de Gauss, l'aire d'un arc de surface, ....

La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».

L'évaluation se fait par plusieurs tests écrits pendant l'année, d'un examen écrit et d'un examen oral portant sur les exercices et  sur la théorie.

On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux, la capacité de construire et d'écrire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de calcul et la capacité d'interpréter géométriquement les résultats de ces calculs et de les  représenter graphiquement.

Ce cours approfondit les compétences transmises par les cours d'initiation d'algèbre et d'analyse, en situant différentes notions qui y sont étudiées dans le contexte de la géométrie du plan ou de l'espace. Les étudiants seront amenés à développer une intuition géométrique et à l'exprimer dans le langage formalisé de l'algèbre ou de l'analyse. Inversement, ils devront pouvoir interpréter de manière géométrique des résultats analytiques ou algébriques, et aborder des problèmes de différents points de vue.

Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux, des séances de travaux pratiques et des séances de monitorat.

Les monitorats permettent aux étudiants d'avoir une aide et un suivi individuel dans leur apprentissage.

Les trois activités se donnent en présentiel.

Le cours sera composé de deux parties. La première de nature plus  algébrique traitera des géométries euclidiennes et affines,

avec un soin particulier pour la classification des quadriques. La

seconde, utilisant des outils de l'analyse, donnera les éléments de base

de la théorie locale des courbes et des surfaces.

Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.

·       Géométrie affine: espace et sous-espaces affines,transformations affines. Repères affines et barycentriques.

·       Géométrie euclidienne: espaces affines euclidiens,Produit scalaire et vectoriel. Mesures d'angles et de longueur. Repère orthonormés. Isométries.

·       Classification et propriétés des quadriques dans un espace euclidien.

·       Géométrie différentielle des courbes dans un espace euclidien: représentation paramétrique, vecteurs tangents et de courbure. Longueur d'arc. Trièdre de Frenet des courbes dans l'espace tridimensionnel. Equations cartésiennes de courbes.

·       Géométrie différentielle des surfaces dans un espace euclidien tridimensionnel:représentation paramétrique, plan tangent, deux premières formes fondamentales, courbures normales,courbure de Gauss. Enoncé du théorème egregium de Gauss.Géodésique sur une surface. Aire d'un arc de surface.

Syllabus disponible sur iCampus avec références bibliographiques.