Mathématiques discrètes - Structures combinatoires [ LMAT2460 ]

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LMAT1131 - algèbre linéaire (première année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.

Le cours donne une introduction à la géométrie combinatoire et à la théorie des codes correcteurs d'erreur, la notion de base du point de vue théorique étant la structure des corps finis.

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.

A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à:

- Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories.

- Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.

A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de:

- Construire des corps finis dont le nombre d'éléments est une puissance quelconque d'un nombre premier arbitraire, effectuer des opérations dans ces corps et en reconnaître la structure.

- Analyser des structures d'incidence, en particulier des espaces projectifs finis, et mettre en relation ces structures avec les carrés latins.

- Comprendre comment sont mises en oeuvre les structures découvertes dans le cadre d'une application d'ingénierie: les codes correcteurs d'erreurs.

- Etre capable de raisonner sur un code correcteur linéaire pour déduire ses propriétés fondamentales: longueur, dimension, capacité correctrice.

L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit. On y teste la connaissance et la compréhension des notions, des exemples et des résultats fondamentaux, la capacité de construire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant le cours.

Le cours est donné sous forme de cours magistraux, pendant lesquels les étudiants sont encouragés à adopter une attitude active. Les phénomènes à analyser sont d'abord observés sur des exemples, puis les propriétés identifiées font l'objet de démonstrations détaillées.

Le cours vise à donner les bases conceptuelles et les méthodes permettant de construire et d'analyser les corps finis et diverses structures combinatoires associées, avec une attention particulière pour les corps correcteurs d'erreur. Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.

- Corps finis: construction, structure et propriétés des éléments (ordre multiplicatif, polynôme minimal).

- Enumération des polynômes irréductibles en une variable sur un corps fini.

- Carrés latins, plans projectifs et designs symétriques: construction et caractérisations par les matrices d'incidence.

- Codes correcteurs: codes linéaires, capacité correctrice, longueur, dimension, représentations matricielles, codes cycliques, codes de Reed-Solomon, codes convolutifs (selon temps et intérêt).

Syllabus pour la partie sur les corps finis (disponible sur iCampus).

G.L. Mullen, C. Mummert: Finite fields and applications, Student Math. Library 41, Amer. Math. Soc., 2007.