Géométrie combinatoire [ LMAT2420 ]

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LMAT1222 ' Analyse complexe 1 (deuxième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.

Rappels d'analyse complexe, applications conformes, transformations homographiques, théorème de l'application conforme de Riemann, méthodes asymptotiques (méthode de Laplace, méthode du col), fonctions spéciales.

 Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique. Ala fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

       (a)  Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :

i. Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

ii. Etablir les liens principaux entre ces théories. '

      (b)  Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique.  Il aura notamment développé sa capacité à :

i. Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.

ii. Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique. '

iii. Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse. '

·      Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

(a)   Comprendre et utiliser les grands résultats d'analyse complexe.

(b) Comprendre la théorie des applications conformes et des transformations homographiques.

(c)   Construire des applications conformes et bijectives entre des régions simples.

Comprendre et utiliser plusieurs méthodes

L'évaluation se fait sur base d'un examen oral et d'un projet fait par l'étudiant pendant le quadrimestre. A l'examen, on teste la connaissance et la compréhension des notions, des méthodes et des résultats vus au cours.

Le cours est donné sous forme de cours magistral avec participation active de la part des étudiants. Pendant les séances de TP, les étudiants travaillent sur des exercices directement liés à la matière du cours.

Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.

(a)  rappels de résultats importants d'analyse complexe et quelques compléments (évaluation de sommes infinies par le théorème des résidus, théorème de l'image ouverte, ...).

(b) applications conformes: théorie générale, transformations homographiques, théorème de l'application conforme de Riemann.

(c)    méthodes asymptotiques: séries asymptotiques, méthode de Laplace, méthode du col, formule de Stirling, fonctions spéciales.

(d)   l'analyse complexe et les méthodes asymptotiques dans la recherche mathématique actuelle.

- J.B. Conway, Functions of one complex variable.

- J.E. Marsden and M.J. Hofman, Basic complex