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Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.
A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :
- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
-- Etablir les liens principaux entre ces théories.
- Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.
-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.
- Communiquer de manière scientifique. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Structurer un exposé oral en l'adaptant au niveau d'expertise du public.
- Faire preuve d'autonomie dans ses apprentissages. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Situer correctement un texte mathématique avancé par rapport aux connaissances acquises.
- Démarrer une recherche grâce à une connaissance plus approfondie d'un domaine des mathématiques actuelles. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Développer de façon autonome son intuition mathématique en anticipant les résultats attendus (formuler des conjectures) et en vérifiant la cohérence avec des résultats déjà existants.
-- Poser de façon autonome des questions pertinentes et lucides sur un sujet avancé de mathématique.
Acquis d'apprentissage spécifiques au cours (en fonction des thèmes traités).
A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :
- Comprendre la notion de commutateur du point de vue catégorique, et l'utiliser pour calculer l'homologie des groupes.
- Caractériser les revêtements galoisiens correspondants à différentes structures galoisiennes, en faisant le lien avec les revêtements en topologie algébrique et les extensions galoisiennes en algèbre.
- Etudier les propriétés des sous-catégories réflexives et des (semi-)localisations en utilisant les systèmes de factorisation et les opérateurs de fermeture.
- Exploiter le point de vue des théories algébriques et le point de vue des monades pour comprendre les structures de l'algèbre générale et leurs propriétés fondamentales.
- Utiliser la théorie des faisceaux et les topos pour étudier des problème de passage du local au global. Faire le lien entre logique intuitionniste et topos.
- Interpréter certaines constructions de l'algèbre homologique et de la théorie des anneaux en termes de cat-groupes.
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