Eléments de géométrie différentielle [ LMAT2110 ]

Le site iCampus ( > https://icampus.uclouvain.be/) contient le syllabus du cours avec références bibliographiques et les énoncés des exercices pour les séances de travaux pratiques.

Cours de géométrie LMAT1141 et LMAT1241.

Maîtrise de la langue française du niveau de la dernière année de l'enseignement secondaire.

Variétés différentielles, champs de vecteurs et topologie des variétés, crochet de Lie des champs de vecteurs, formes différentielles.

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à:

- Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre

des problèmes de mathématique.

-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.

- Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences

exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.

- Faire preuve d'abstraction et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.

-- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.

- Etre clair, précis et rigoureux dans les activités de communication. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.

-- Structurer un exposé oral, mettre en évidence les éléments clef, distinguer techniques et concepts.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Définir une variété différentielle de façon abstraite (à l'aide de cartes locales), par des équations ou par une paramétrisation.

- Etudier un champ de vecteurs sur une variété, relier ses points singuliers à la topologie de la variété, visualiser le flot sur des exemples simples.

- Maîtriser le calcul et la signification géométrique du crochet de Lie des champs de vecteurs et certaines de ses applications.

- Maîtriser l'outil fondamental des formes différentielles et certaines de ses applications (théorème de Stokes-Cartan et théorie du degré).

L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit portant à la fois sur la théorie et les exercices à parts égales. On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux, la capacité de construire et d'écrire un raisonnement cohérent, de donner des exemples et des contre-exemples, la maîtrise des techniques de calcul. Les présentations orales durant les séances de travaux pratiques comptent pour 4 points sur 20 dans la note finale.

Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques. Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs relations avec d'autres cours du programme de bachelier en sciences mathématiques. Les séances de travaux pratiques visent à construire des démonstrations, à étudier de nombreux exemples et contre-exemples, et à maîtriser les méthodes de calcul. Durant chaque séance, certains étudiants sont invités à présenter au tableau des exercices ou des compléments de théorie qui leur auront été préalablement assignés.

Ce cours fait suite aux cours LMAT1141 et LMAT1241 consacrés principalement à l'étude des courbes et des surfaces dans R^2 et R^3. On y étudie les variétés abstraites (différentielles), les champs de vecteurs et les formes différentielles qui sont le matériau de base de la géométrie différentielle, pour aborder l'étude de la géométrie riemannienne et des groupes de Lie.

Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.

- Variétés différentielles : notion, exemples, topologie d'une variété, sous-variétés, morphismes entre variétés.

- Champs de vecteurs : espace tangent et dérivations ponctuelles, différentielle d'un morphisme (immersions, submersions et plongements), fibré tangent, champs de vecteurs et dérivations, courbes intégrales et flots, théorème de Poincaré-Hopf pour S^2, points critiques et topologie des variétés (champs gradients).

- Crochet de Lie des champs de vecteurs : définition, crochet de Lie et crochet de Poisson, champs de vecteurs hamiltoniens et théorème de Arnold-Liouville, redressement des champs de vecteurs et théorème de Frobenius.

Formes différentielles : formes extérieures, formes différentielles (fibrés extérieurs, différentielle extérieure, formule de Cartan), Lemme de Poincaré, intégration sur les variétés orientables, formule de Stokes-Cartan et éléments de la théorie du degré.

Syllabus disponible sur iCampus. Ouvrages de référence:

- M. Berger et R. Gostiaux, Géométrie différentielle: variétés, courbes et surfaces, P.U.F., Paris 1992.

J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Presses Universitaires de Grenoble 1996.

V.I. Arnold, Méthodes mathématiques de la mécanique classique, Editions Mir, Moscou 1976.