Courbes elliptiques [ LMAT1341 ]

Le site iCampus ( > https://icampus.uclouvain.be/) du cours contient le plan du cours, les références bibliographiques utilisées et les énoncés des problèmes à réaliser durant le semestre.

Analyse complexe LMAT1222.

Maîtrise de la langue française du niveau de la dernière année de l'enseignement secondaire.

Fonctions elliptiques de Weierstrass et de Jacobi, courbes elliptiques associées, théorème d'Abel, théorème d'addition, applications choisies en géométrie, en mécanique et en théorie des nombres.

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à:

- Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre

des problèmes de mathématique.

-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.

- Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.

- Faire preuve d'abstraction et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.

-- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.

- Etre clair, précis et rigoureux dans les activités de communication. Il aura notamment développé sa capacité à:

-- Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.

-- Structurer un exposé oral, mettre en évidence les éléments clef, distinguer techniques et concepts.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Construire des fonctions holomorphes et méromorphes à l'aide de séries ou de produits infinis.

- Appliquer le théorème d'Abel et le théorème d'addition des fonctions elliptiques dans des contextes variés.

- Résoudre des problèmes faisant appel à l'utilisation des fonctions et des courbes elliptiques.

L'évaluation se fait sur base d'un examen oral portant sur la théorie et le travail personnel réalisé durant le semestre, à parts égales. On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux, la capacité de résoudre des problèmes et de rédiger les solutions avec rigueur et clarté.

Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux. Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs relations avec d'autres cours du programme de bachelier en sciences mathématiques.

Les étudiants reçoivent au début du semestre une liste de problèmes qui constitue un travail personnel à réaliser, sur lequel ils remettent un rapport écrit à la fin du semestre. Certains cours magistraux sont consacrés à une discussion informelle de ces problèmes.

Le cours a pour but d'introduire à la théorie des courbes algébriques via l'étude des courbes elliptiques et d'étudier certaines de leurs applications. Il s'efforce de montrer comment le sujet combine de manière très attractive trois thèmes importants des mathématiques: l'analyse complexe, la géométrie et la théorie des nombres.

Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.

- Sphère de Riemann: définition, compacité, automorphismes, comportement des fonctions à l'infini, fonctions méromorphes sur la sphère de Riemann.

- Construction de fonctions holomorphes et méromorphes : séries de fonctions holomorphes et méromorphes, produits infinis de fonctions holomorphes, exemples.

- Fonctions et courbes elliptiques: tores complexes, théorème d'Abel, théorie de Weierstrass (fonctions P(z), zeta(z), sigma(z)), théorie de Jacobi (fonctions sn(z,k), cn(z,k), dn(z,k)), courbes elliptiques associées et théorème d'addition sur ces courbes, problème d'inversion des intégrales elliptiques.

- Applications: Equation du pendule, problème de Poncelet, théorème de Mordell-Weil.

H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Hermann, Paris, 1961.

G.A. Jones, D. Singerman, Complex functions, an algebraic and geometric viewpoint, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.