Géométrie 2 [ LMAT1241 ]

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Le site contient le syllabus du cours, les énoncés et les solutions des exercices pour les séances de travaux pratiques, le corrigé des examens récents et le plan détaillé du cours.

LMAT1141 - géométrie 1, LMAT1121 - analyse mathématique 1, LMAT1131 - algèbre linéaire (ou cours équivalents).

Géométrie riemannienne des surfaces (courbures, surfaces minimales, théorème de

Gauss-Bonnet).

Géométrie projective présentée comme un prolongement de la géométrie affine (théorème de Pappus et Desargues, projectivités, dualité projective, rapport anharmonique).

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre

des problèmes de mathématique.

-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.

- L'aptitude à l'apprentissage autonome, pour être capable de

-- Rechercher dans la littérature mathématique des sources pertinentes.

-- Lire et comprendre un texte mathématique avancé et le situer correctement par rapport aux connaissances acquises.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Concevoir la notion de surface globale munie d'un atlas.

- Utiliser la notion de changement de carte pour concevoir globalement les notions de formes fondamentales et de courbure.

- Utiliser les techniques de résolution d'équations différentielles (vues au cours LMAT1121) dans un cadre géométrique concret: calcul de flot de champs de vecteurs et calcul de géodésiques.

- Concevoir la notion d'invariant topologique (caractéristique d'Euler-Poincaré) et son investigation par des méthodes géométriques (théorème de Gauss-Bonnet).

- Concevoir la notion d'espace projectif comme objet global apparenté à la notion de surface.

- Etablir les équivalences géométriques entre plans projectifs réel ou complexe et, respectivement, 2-sphère ou son quotient par identification antipode.

- Intuiter la notion d'orientation (ou d'absence d'orientation) sur un espace global.

- Intuiter la notion d'atlas en dimension supérieure.

L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit portant sur les exercices d'une part, et sur la théorie d'autre part. On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux, la capacité de construire et d'écrire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de calcul.

Le cours vise à développer une intuition pour des objets géométriques a priori plus abstraits que ceux qui ont été étudiés dans le cours Géométrie 1, ainsi qu'à rendre plus flexible le passage entre le formalisme algébrique ou analytique et l'intuition géométrique et vice-versa. Les activités d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques. Les deux activités se donnent en présentiel.

Ce cours prolonge le cours de Géométrie 1. Il se divise en deux parties.  La géométrie riemannienne des surfaces dans R^3, d'une part, est présentée comme une extension de la théorie des courbes et surfaces dans R^3 (cf. cours Géométrie 1) où l'on met maintenant l'accent sur les propriétés métriques et les aspects globaux.

La géométrie projective, d'autre part, apparaît comme la complétion de la géométrie affine (cf. cours Géométrie 1) ; les propriétés de ces deux types de géométrie sont mises en regard ; les motivations originales en théorie de la perspective sont décrites.

Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.

- Géométrie riemannienne des surfaces de R^3 :

-- atlas de carte sur une surface plongée,

-- première et seconde formes fondamentales,

-- différentes notions de courbure,

-- Theorema Egregium,

-- géodésiques,

-- théorème de Gauss-Bonnet,

-- surfaces minimales.

- Géométrie projective sur le corps des réels et sur celui des complexes :

- théorème de Pappus,

- théorème de Desargues,

- dualité projective,

- le groupe projectif,

- le rapport anharmonique,

- coniques et quadriques projectives,

- théorème de Pascal.

Syllabus disponible sur iCampus.