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Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :
- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre
des problèmes de mathématique.
-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.
-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.
- Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.
- Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.
-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.
-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique et en déceler les failles éventuelles.
-- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.
Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :
- démontrer quelques résultats de base de la théorie des groupes;
- utiliser quelques critères pour établir si un groupe possède une des propriétés vues au cours (par exemple: être abélien, cyclique, simple, symétrique, etc.) ;
- démontrer les propriétés de stabilité d'un certain type de groupes par rapport à une construction donnée (stabilité par produits directs, sous-groupes, quotients) ;
- reconnaître les propriétés universelles des structures algébriques et les utiliser pour déterminer si deux structures sont isomorphes ;
- définir et étudier les quotients des structures algébriques (groupes et espace vectoriels), en les analysant dans des exemples concrets ;
- déterminer si un endomorphisme est triangularisable, et dans ce cas trouver des bases de l'espace vectoriel permettant de le triangulariser ;
- utiliser les produits tensoriels dans la résolution de problèmes d'algèbre multilinéaire.
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