Théorie de la mesure [ LMAT1322 ]

Les cours d'analyse 1, 2 et 3.

Chapitre I. La mesure extérieure de Lebesgue ;

Chapitre II. Mesures sur une tribu de parties ;

Chapitre III. Intégration ;

Chapitre IV. Mesures produits ; le théorème de Fubini ;

Chapitre V. Le théorème de décomposition de Lebesgue (et celui de Radon-Nikodym) ;

Chapitre VI. Le théorème de représentation de Riesz.

Amener l'étudiant à maîtriser, dans un contexte abstrait,

les théorèmes fondamentaux d'intégration abordés dans les cours d'analyse précédents pour le cas des espaces euclidiens,

en partant de ces derniers et de l'exemple de la mesure extérieure de Lebesgue ;

amener également les étudiants à maîtriser les techniques de preuve propres à la théorie de la mesure

(évaluation hors session): l'interrogation sera, sauf problèmes d'horaires rendant l'évaluation orale difficile à organiser au vu du reste de l'horaire des examens, un orale, et comportera deux parties;

l'une, théorique, comptera trois questions de cours (l'une d'entre elles portant nécessairement soit sur

les théorèmes de convergence,

soit sur le théorème de Tonelli-Fubini,

soit sur le théorème de représentation de Riesz) ;

deux sujets d'exercices seront également proposés et il sera demandé aux étudiants de traiter l'un d'eux au choix.

Le cours magistral (22h30) sera dispensé à raison de deux heures par semaine.

nous introduirons les motivations historiques et nous partirons de la mesure extérieure de Lebesgue, et démontrerons, dans ce contexte, divers résultats qui se généraliseront sans peine aux mesures abstraites.

Ceci fait, nous aborderons la notion de mesure abstraite, forts de l'expérience acquise dans les développements consacrés

à la mesure de Lebesgue.

Les théorèmes d'intégration et de décomposition seront alors étudiés, ainsi que le théorème de représentation de Riesz.

L'approche abstraite utilisée est proche de l'esprit des livres de H.L.Royden 'Real Analysis', de G.B.Folland 'Real Analysis' et du livre de D.L.Cohn  'Measure Theory'.