Mathématique Analyse [ LARCT1120 ]

Opérations algébriques élémentaires (fractions, puissances, racines, etc.). Familiarité avec les notions d'équation. En particulier, résolution d'équations du premier et du deuxième degré. Résolution de systèmes d'équations à plusieurs inconnues. Notions de trigonométrie et de géométrie vectorielle.

L'objectif du cours d'analyse est d'offrir à l'étudiant l'occasion de compléter, grâce à l'introduction de nouveaux outils, le matériel nécessaire à la compréhension de questions notamment géométriques pourtant inabordables dans le contexte de la géométrie euclidienne.

Outre qu'il découvre la puissance des outils développés, telles les limites, les dérivées, les intégrales et les équations différentielles, dans la résolution d'un ensemble de problèmes ludiques et originaux pour la plupart à caractère géométrique, l'étudiant améliore à cette occasion ses capacités de mise en équations, laquelle est censée établir le lien entre la compréhension d'un problème et la formulation rigoureuse d'une réponse adéquate.

Le calcul de surfaces non polygonales à l'aide des sommes de Riemann est par exemple l'occasion de confronter l'étudiant à un raisonnement technique de longue haleine s'appuyant sur un concept géométrique élémentaire, impliquant un grand nombre d'opérations algébriques, la manipulation de sommes et le calcul de limites, pour aboutir à un résultat numérique simple et remarquable.

Ces outils seront exploités par la suite dans les cours à vocation technique, tels les cours de résistance des matériaux ou de thermique.

Interrogation en milieu de semestre.
Examen écrit en fin de semestre.

Cours magistral (12 x 2 heures).
Séances d'exercices (12 x 2 heures).

Fonctions & Limites

Les notions élémentaires de fonctions, de domaines de définitions, d'opérations entre les fonctions, de composées de fonctions et de graphes y sont revues. Les concepts de limite et de continuité ainsi que les techniques de calcul sont introduits de façon intuitive.

Dérivée & Applications

La fonction dérivée est définie pour être exploitée dans une série de problèmes d'orientation de courbes dans le plan (tangentes, normales, angles de rencontre) et d'optimisation (maximisation ou minimisation de fonctions continues sur un fermé) de longueurs, de surfaces et de volumes.

Calcul intégral

Le calcul de surfaces délimitées par des courbes est ensuite abordé à partir des sommes de Riemann. A cette occasion sont introduites les sommes de n termes, les propriétés élémentaires les concernant, ainsi que quelques sommes remarquables dont les résultats sont explicitement établis. Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral est énoncé et démontré. Les primitives sont définies et calculées dans une large gamme de circonstances (intégration par parties y comprise). Vient ensuite l'étude du logarithme, de l'exponentielle et de leurs propriétés respectives.

Equations différentielles

Le cours d'analyse se clôture par une introduction aux équations différentielles ordinaires de premier ordre séparables et/ou linéaires à coefficients variables.