Processus stochastiques (statistique) [ LMAT2470 ]
5.0 crédits ECTS
30.0 h
1q
| Enseignant(s) |
Johannes Jan ;
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Langue
d'enseignement: |
Français
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| Lieu de l'activité |
Louvain-la-Neuve
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| Thèmes abordés |
Martingales à temps discret (sous-martingales et sur-martingales), processus stationnaires, processus échangeables, processus conditionnellement i.i.d. et processus de Markov.
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Acquis
d'apprentissage |
Présenter les principaux processus stochastiques à temps discrets avec une introduction à leur étude statistique.
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| Contenu |
Contenu
1. Processus stochastiques à temps discrets. Généralités, tribus asymptotique, invariante et échangeable. Temps d'arrêt et temps d'atteinte.
2. Martingales, sous-martingales et sur-martingales. Théorèmes d'arrêt optionnel, convergences presque sûre et en moyenne. Martingales inverses, loi forte des grands nombres, lois 0-1 de Kolmogorov et de Hewitt-Savage.
3. Processus stationnaires. Théorème ergodique, tribu presque sûrement invariante, convergences presque sûre et en moyenne. Théorèmes de récurrence de Poincaré.
4. Processus échangeables. Tribu presque sûrement échangeable, théorème de de Finetti : représentation d'un processus échangeable en un processus conditionnellement i.i.d.
5. Processus conditionnellement i.i.d. Identification et égalité presque sûre entre la tribu invariante et la tribu conditionnante. Théorème d'arrêt optionnel et temps d'atteinte.
6. Processus de Markov conditionnels. Propriété de Markov forte. Processus de Markov homogènes et stationnaires. Caractérisation de la tribu invariante et conditions d'ergodicité.
7. Processus de Markov réguliers. Distribution initiale stationnaire, critères d'ergodicité et condition de Doeblin. Théorème ergodique pour un processus de Markov non stationnaire.
Méthodes
Les exposés magistraux d'une durée de 2 heures se font pendant 14 semaines.
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| Autres infos |
Pré-requis :
Les cours MAT1322 Théorie de la mesure and MAT1371 Probabilités sont un pré-requis absolu.
Références :
NEVEU, J., Martingales à temps discret, Masson, 1972.
BREIMAN, L., Probability, Addison-Wesley, 1968.
CHOW, Y.S. and M. TEICHER, Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, Springer-Verlag, 1987.
CHUNG K.L., A Course in Probability Theory. Harcourt, Brace & World Inc., 1968.
KARLIN S. and H.M. TAYLOR, A First Course in Stochastic Processes, Academic Press, 1975.
Evaluation :
Chaque étudiant se voit proposer de résoudre 5. Il en rédige les solutions qu'il présente oralement devant le professeur. Celui-ci se réserve le droit de l'interroger sur la matière vue au cours en relation avec les exercices proposés.
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Cycle et année
d'étude |
> Master [120] en sciences mathématiques
> Master [120] en statistiques, orientation générale
> Master [120] en sciences physiques
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Faculté ou entité
en charge |
> MATH
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