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Théorie des matrices [ LINMA2380 ]


5.0 crédits ECTS  30.0 h + 22.5 h   2q 

Enseignant(s) Van Dooren Paul ;
Langue
d'enseignement:
Français
Lieu de l'activité Louvain-la-Neuve
Thèmes abordés - Matrices définies sur un champ: relation d'équivalence, élimination de Gauss, formes hermitiennes, relation de similitude et questions connexes (théorème de Courant-Fischer, lemme de Schur et algorithme QR, fonctions de matrices, etc.), déterminants (théorèmes de Binet-Cauchy), inversion généralisée et décomposition des matrices en valeurs singulières avec applications - Matrices définies sur un anneau: algorithme d'Euclide et applications aux matrices polynômiales, relation avec les formes de Hermite et Smith - Normes et convexité: théorie et applications diverses à l'étude des matrices non négatives, localisation des valeurs propres. - Matrices structurées : complexité d'algorithmes rapides.
Acquis
d'apprentissage
Etudier en profondeur divers thèmes particulièrement représentatifs de cette discipline mathématique, en tenant compte des applications scientifiques ou techniques sous-jacentes et en soulignant quelques aspects numériques.
Contenu Après une introduction qui rappelle quelques notions de base, on discute des sujets suivants: 1. Compléments sur la théorie des déterminants: théorèmes de Binet-Cauchy et Laplace 2. Décomposition en valeurs singulières et applications: décomposition polaire, angles entre espaces, inverse généralise, projecteurs, problème de moindre carrés, régularisation 3. Décomposition en valeurs propres: formes de Schur et de Weyr, forme de Jordan, algorithme QR 4. Approximation et caractérisation variationnelle: théorèmes de Courant-Fischer et Wielandt-Hoffmann, champ des valeurs, théorème de Gershgorin 5. Congruences et stabilité: inertie et théorème de Sylvester, équations de Stein et de Lyapunov, lien avec la stabilité de systèmes dynamiques 6. Matrices polynomiales: algorithme d'Euclide et formes de Smith et de Hermite, lien avec la forme de Jordan 7. Matrices à éléments positifs : théorème de Perron-Frobenius, matrices stochastiques 8. Matrices structurées : notion de rang de déplacement et algorithmes rapides pour matrices Toeplitz et Hankel
Autres infos Pré-requis: Formation de base (niveau 1er cycle) en algèbre linéaire et en calcul numérique
Cycle et année
d'étude
> Bachelier en sciences mathématiques
> Master [120] en sciences mathématiques
> Master [60] en sciences mathématiques
> Master [120] : ingénieur civil en mathématiques appliquées
> Master [120] en statistiques, orientation générale
> Master [120] : ingénieur civil électricien
> Master [120] : ingénieur civil électromécanicien
> Master [120] en sciences physiques
Faculté ou entité
en charge
> MAP


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