UCL - Théorie des nombres

[MAT2440]

[30h + 15h] 5 crédits

Cette activité se déroule pendant le 1er quadrimestre.

Enseignants : Jean-Jacques Quisquater, Jean-Pierre Tignol

Langue d'enseignement : Français

Niveau : Second cycle

Objectifs (en termes de compétences)
Objet de l'activité (principaux thèmes à aborder)
Autres informations (Pré-requis, Evaluation, Support, ...)

Objectifs (en termes de compétences)

Le cours vise à donner les bases conceptuelles et les méthodes permettant de- résoudre des équations dans des anneaux d'entiers modulaires ;- déterminer des conditions d'existence de solutions de certaines équations diophantiennes ; - appliquer des résultats d'analyse mathématique à l'étude des nombres premiers ;- effectuer des calculs dans les groupe des points de certaines cubiques projectives sur les corps d'entiers modulaires.

Objet de l'activité (principaux thèmes à aborder)

Initiation à divers aspects de la théorie des nombres et de ses méthodes, en particulier en vue de ses applications à la cryptographie mathématique.1. Arithmétique modulaire : théorème chinois des restes et loi de réciprocité quadratique.2. Formes quadratiques rationnelles : corps de nombres p-adiques et principe local-global.3. Méthodes analytiques : fonction zêta et théorème de Dirichlet.4. Cubiques projectives : propriétés arithmétiques des courbes elliptiques.L'équilibre entre les différentes parties et les détails du programme ci-dessus sont susceptibles de varier d'année en année.Méthodes : exposés théoriques.

Autres informations (Pré-requis, Evaluation, Support, ...)

Pré-requis Eléments d'algèbre linéaire du niveau du premier cycle.
Evaluation Examen oral.
Support L'un ou l'autre des nombreux ouvrages sur ce thème ; par exemple K. Ireland, M. Rosen : A classical introduction to modern number theory, Springer, 2d edition, 1991.J.P. Serre, Cours d'arithmétique, PUF, 1970.J.H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Springer, 1986.